1 Departamento de Estatística, Universidade de Agricultura de Michael Okpara, Umudike, Nigéria 2 Departamento de Estatística, Universidade Federal de Tecnologia, Owerri, Nigéria 3 Departamento de Matemática, Ciências da Computação e Física, Universidade Federal, Otueke, Nigéria Copyright copy 2015 by authors and Scientific Research Publishing Inc. Este trabalho está licenciado sob a licença Creative Commons Attribution International (CC BY). Recebido em 26 de novembro de 2014 Aceito em 12 de dezembro de 2014 em 19 de janeiro de 2015 A invertibilidade é uma das propriedades desejáveis dos processos de média móvel. Este estudo deriva as conseqüências da condição de invertibilidade nos parâmetros de um processo de média móvel de ordem três. O estudo também estabelece os intervalos para os três primeiros coeficientes de autocorrelação do processo de média móvel da ordem três, com a finalidade de distinguir entre o processo e qualquer outro processo (linear ou não linear) com estrutura de autocorrelação similar. Para um processo de média móvel invertível de ordem três, os intervalos obtidos são, e. Processo Médio Móvel de Ordem Três, Equação Característica, Condição de Invertibilidade, Coeficiente de Autocorrelação, Segundo Teste Derivativo Os processos de média móvel (modelos) constituem uma classe especial de modelos lineares de séries temporais. Um processo de ordem média (processo) é da forma: onde são constantes reais e, é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média zero e variância constante. Esses processos foram amplamente usados para modelar dados de séries temporais de vários campos 1 -3. O modelo em (1.1) é sempre estacionário. Portanto, uma condição necessária para o uso do processo de média móvel é que ele é invertível. Vamos, então o modelo em (1.1) é invertível se as raízes da equação característica estiverem fora do círculo unitário. As condições de invertibilidade dos modelos de média móvel de primeira e segunda ordem foram derivadas 4 5. Ref. 6 usaram um processo de média móvel da ordem três (processo MA (3)) em seu estudo de simulação. Embora, processos médios móveis de ordem superior tenham sido usados para modelar dados de séries temporais, pouco se tem dito sobre as propriedades de suas funções de autocorrelação. Este estudo enfoca a condição de invertibilidade de um processo MA (3). Consideração também é dada às propriedades de seus coeficientes de autocorrelação de um processo de média móvel invertível de ordem três. 2. Conseqüência da Condição de Invertibilidade nos Parâmetros de um Processo MA (3) Para, o seguinte processo de média móvel de ordem 3 é obtido de (1.1): A equação característica correspondente a (2.1) é dada por É importante saber que (2.2) é uma equação cúbica. Informações detalhadas sobre como resolver equações cúbicas podem ser encontradas em 7 8 entre outras. Tem sido uma tradição comum considerar a natureza das raízes de uma equação característica enquanto determina a condição de invertibilidade de um modelo de série temporal 9. Como uma equação cúbica, (2.2) pode ter três raízes reais distintas, uma raiz real e duas complexas. raízes, duas raízes iguais ou três raízes iguais. A natureza das raízes de (2.2) é determinada com a ajuda do discriminante 8 If. (2.2) tem as seguintes raízes distintas 7 onde é medido em radianos e. Quando. (2.2) tem apenas raiz real dada por 1 como As outras raízes são 8 Se. e. então e (2.2) tem duas raízes iguais. As raízes de (2.2) neste caso, são as mesmas que (2.7), (2.8) e (2.9). Para e. (2.2) tem três raízes iguais reais. Cada uma dessas raízes é dada por 8 como Para (2.1) ser invertível, espera-se que as raízes de (2.2) estejam fora do círculo unitário e. No seguinte teorema, as condições de invertibilidade de um processo MA (3) são dadas sujeitas à condição de que a equação característica correspondente tenha três raízes iguais reais. Teorema 1. Se a equação característica tem três raízes iguais, então o processo de média móvel da ordem três é invertível se Para invertibilidade, esperamos que cada uma das três raízes iguais estejam fora do círculo unitário. Assim, resolvendo a desigualdade. Nós obtemos Como cada uma das raízes está fora do círculo unitário, o valor absoluto de seu produto deve, portanto, ser maior que um. Portanto, isso conclui a prova. A região de invertibilidade de uma média móvel de ordem três com raízes iguais da Equação característica (2.2) é envolvida pelo triângulo OAB na Figura 1. Figura 1. Região de invertibilidade de um processo MA (3) quando a equação característica possui três raízes iguais. 3. Identificação de identificação de modelo de processo de média móvel é um aspecto crucial da análise de séries temporais. Uma prática comum é examinar as estruturas da função de autocorrelação (ACF) e da função de autocorrelação parcial (PACF) de uma determinada série temporal. A este respeito, uma série cronológica segue um processo de ordem média móvel se a sua função de autocorrelação associada é cortada após o atraso e a função de autocorrelação parcial correspondente decai exponencialmente 10. Autores que utilizam este método acreditam que cada processo possui uma representação ACF única. No entanto, a existência de estruturas de autocorrelação similares entre o processo de média móvel e o processo de séries temporais bilineares diagonais puras da mesma ordem dificulta a identificação de um processo de média móvel baseado no padrão de sua ACF. Além disso, uma análise cuidadosa da função de autocorrelação do quadrado de uma série temporal pode ajudar a determinar se a série segue um processo de média móvel. Se a série pode ser gerada por um processo de média móvel, então seu quadrado segue um processo de média móvel da mesma ordem 11 12. As condições sob as quais usamos a função de autocorrelação para distinguir entre processos que se comportam como processos móveis médios de ordem um e dois foram determinados por 13 14 respectivamente. Essas condições são definidas em termos dos valores extremos dos coeficientes de autocorrelação dos processos. 4. Intervalos para os Coeficientes de Autocorrelação de um Processo de Média Móvel da Ordem Três Como declarado na Seção 3, o conhecimento dos valores extremos do coeficiente de autocorrelação de um processo de média móvel de uma ordem particular pode nos permitir assegurar a identificação apropriada do processo. Observou-se que para um processo de média móvel de ordem um, 15 enquanto para um processo de média móvel de ordem dois e 5. A fim de generalizar sobre a faixa de valores de um processo de ordem média móvel. vale a pena determinar os valores de intervalo para um processo de média móvel de ordem três. O modelo em (2.1) possui a seguinte função de autocorrelação 10: Podemos deduzir de (4.1) que a função de autocorrelação no desfasamento um do processo MA (3) é Usando o Scientific Note Book, os valores mínimo e máximo de são encontrados ser e respectivamente. Para a função de autocorrelação em lag dois, temos Os valores extremos de são igualmente obtidos com a ajuda do Scientific Note Book. Para este efeito, tem um valor mínimo de 0,5 e um valor máximo de 0,5. De (4.1), obtemos Com base no resultado obtido no Scientific Notebook, temos um valor mínimo de 0,5 e um valor máximo de 0,5. Entretanto, os intervalos para podem ser facilmente obtidos analiticamente e este resultado é generalizado no Teorema 2 para o processo MA. As derivadas parciais de com respeito a. e são os pontos críticos de quando ocorre. Igualando cada uma das derivadas parciais em (4.5), (4.6) e (4.7) a zero, obtemos2.1 Modelos de Média Móvel (modelos MA) Modelos de séries temporais conhecidos como modelos ARIMA podem incluir termos autoregressivos e / ou termos médios móveis. Na semana 1, aprendemos um termo autoregressivo em um modelo de série temporal para a variável x t é um valor defasado de x t. Por exemplo, um termo autorregressivo lag 1 é x t-1 (multiplicado por um coeficiente). Esta lição define os termos da média móvel. Um termo de média móvel em um modelo de série temporal é um erro passado (multiplicado por um coeficiente). Let (wt overset N (0, sigma2w)), significando que wt são idênticos, independentemente distribuídos, cada um com uma distribuição normal tendo média 0 e a mesma variância. O modelo de média móvel de 1ª ordem, denotado por MA (1) é (xt mu wt theta1w) O modelo de média móvel de 2ª ordem, denotado por MA (2) é (xt mu wt theta1w teta2w) O modelo de média móvel de ordem q , indicado por MA (q) é (xt mu wt theta1w theta2w pontos thetaqw) Nota. Muitos livros didáticos e programas de software definem o modelo com sinais negativos antes dos termos. Isso não altera as propriedades teóricas gerais do modelo, embora inverta os sinais algébricos de valores de coeficientes estimados e termos (não-quadrados) em fórmulas para ACFs e variâncias. Você precisa verificar seu software para verificar se sinais positivos ou negativos foram usados para escrever corretamente o modelo estimado. R usa sinais positivos em seu modelo subjacente, como fazemos aqui. Propriedades Teóricas de uma Série Temporal com um Modelo MA (1) Observe que o único valor diferente de zero no ACF teórico é para o atraso 1. Todas as outras autocorrelações são 0. Assim, uma amostra de ACF com uma autocorrelação significativa somente no lag 1 é um indicador de um possível modelo MA (1). Para estudantes interessados, as provas dessas propriedades são um apêndice a este folheto. Exemplo 1 Suponha que um modelo MA (1) seja x t 10 w t .7 w t-1. onde (wet overset N (0,1)). Assim, o coeficiente 1 0,7. O ACF teórico é dado por Um gráfico deste ACF segue. O gráfico que acabamos de mostrar é o ACF teórico para um MA (1) com 1 0,7. Na prática, uma amostra costuma oferecer um padrão tão claro. Usando R, simulamos n valores de 100 amostras usando o modelo xt 10 w t .7 w t-1 onde wt iid N (0,1). Para esta simulação, segue-se um gráfico de série temporal dos dados da amostra. Nós não podemos dizer muito desta trama. A amostra ACF para os dados simulados é a seguinte. Vemos um pico no atraso 1 seguido por valores geralmente não significativos para atrasos 1. Observe que o ACF da amostra não corresponde ao padrão teórico do MA subjacente (1), que é que todas as autocorrelações para atrasos anteriores 1 serão 0 Uma amostra diferente teria uma amostra ACF ligeiramente diferente mostrada abaixo, mas provavelmente teria as mesmas características gerais. Propriedades Teóricas de uma Série Temporal com um Modelo MA (2) Para o modelo MA (2), as propriedades teóricas são as seguintes: Observe que os únicos valores não nulos no ACF teórico são para os lags 1 e 2. As autocorrelações para lags maiores são 0 Assim, uma amostra ACF com autocorrelações significativas nos lags 1 e 2, mas autocorrelações não significativas para lags maiores indica um possível modelo MA (2). iid N (0,1). Os coeficientes são 1 0,5 e 2 0,3. Como este é um MA (2), o ACF teórico terá valores diferentes de zero apenas nos lags 1 e 2. Os valores das duas autocorrelações diferentes de zero são Uma plotagem do ACF teórico a seguir. Como quase sempre é o caso, dados de amostra não se comportarão tão perfeitamente quanto a teoria. Simulamos n valores de 150 amostras para o modelo x t 10 w t 0,5 w t-1 .3 w t-2. Onde está N (0,1). O gráfico da série temporal dos dados segue. Como no gráfico de séries temporais para os dados de amostra MA (1), você não pode dizer muito sobre isso. A amostra ACF para os dados simulados é a seguinte. O padrão é típico para situações em que um modelo MA (2) pode ser útil. Existem dois picos estatisticamente significativos nos lags 1 e 2, seguidos por valores não significativos para outros lags. Note que, devido ao erro de amostragem, a amostra ACF não corresponde exatamente ao padrão teórico. ACF para Modelos Gerais MA (q) Uma propriedade dos modelos MA (q) em geral é que existem autocorrelações diferentes de zero para as primeiras defasagens e autocorrelações 0 para todos os atrasos gt q. Não unicidade de conexão entre valores de 1 e (rho1) no modelo MA (1). No modelo MA (1), para qualquer valor de 1. o recíproco 1/1 fornece o mesmo valor para Como exemplo, use 0,5 para 1. e depois use 1 / (0.5) 2 para 1. Você receberá (rho1) 0,4 em ambos os casos. Para satisfazer uma restrição teórica chamada invertibilidade. restringimos os modelos MA (1) a ter valores com valor absoluto menor que 1. No exemplo dado, 1 0.5 será um valor de parâmetro permitido, enquanto 1 1 / 0.5 2 não. Invertibilidade dos modelos MA Um modelo MA é dito ser invertível se for algebricamente equivalente a um modelo AR de ordem infinita convergente. Convergindo, queremos dizer que os coeficientes de AR diminuem para 0 quando voltamos no tempo. A invertibilidade é uma restrição programada no software de séries temporais usado para estimar os coeficientes de modelos com termos de MA. Não é algo que nós verificamos na análise de dados. Informações adicionais sobre a restrição de invertibilidade para os modelos MA (1) são fornecidas no apêndice. Nota Teoria Avançada. Para um modelo MA (q) com um ACF especificado, existe apenas um modelo invertível. A condição necessária para a invertibilidade é que os coeficientes tenham valores tais que a equação 1- 1 y-. - q y q 0 tem soluções para y que estão fora do círculo unitário. Código R para os Exemplos No Exemplo 1, plotamos o ACF teórico do modelo x t 10 w t. 7w t-1. e então simulou n 150 valores deste modelo e plotou a série temporal da amostra e a amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados para traçar o ACF teórico foram: acfma1ARMAacf (mac (0,7), lag. max10) 10 defasagens de ACF para MA (1) com theta1 0,7 lags0: 10 cria uma variável denominada lags que varia de 0 a 10. plotagem (defasagens, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, tipoh, ACF principal para MA (1) com teta1 0,7) abline (h0) adiciona um eixo horizontal ao gráfico O primeiro comando determina o ACF e o armazena em um objeto chamado acfma1 (nossa escolha de nome). O comando de plotagem (o terceiro comando) traça atrasos em relação aos valores de ACF para os lags de 1 a 10. O parâmetro ylab marca o eixo yeo parâmetro principal coloca um título na plotagem. Para ver os valores numéricos do ACF, simplesmente use o comando acfma1. A simulação e os gráficos foram feitos com os seguintes comandos. xcarima. sim (n150, list (mac (0.7))) Simula n 150 valores de MA (1) xxc10 adiciona 10 para fazer a média 10. A simulação assume como padrão 0. plotagem (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) acf (x, xlimc (1,10), ACF principal para dados de amostras simuladas) No Exemplo 2, plotamos o ACF teórico do modelo xt 10 wt.5 wt-1 .3 w t-2. e então simulou n 150 valores deste modelo e plotou a série temporal da amostra e a amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados foram: acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (defasagens, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (2) com teta1 0,5, teta20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, lista (mac (0.5, 0.3))) xxc10 plot (x, typeb, principal Sim Simulado (2) Séries) acf (x, xlimc (1,10), mainACF para Dados MA (2) simulados Apêndice: Prova de Propriedades do MA (1) Para estudantes interessados, aqui estão as provas de propriedades teóricas do modelo MA (1). Variação: (texto (xt) texto (mu wt theta1 w) 0 texto (wt) texto (teta1w) sigma2w teta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Quando h1, a expressão anterior 1 w 2. Para qualquer h 2, a expressão anterior 0 A razão é que, por definição de independência do peso. E (wk w j) 0 para qualquer k j. Além disso, porque o w tem média 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Para uma série temporal, aplique esse resultado para obter o ACF fornecido acima. Um modelo MA invertível é aquele que pode ser escrito como um modelo AR de ordem infinita que converge para que os coeficientes AR converjam para 0 à medida que nos movemos infinitamente de volta no tempo. Bem demonstre invertibilidade para o modelo MA (1). Substituímos então a relação (2) para wt-1 na equação (1) (3) (zt wt theta1 (z-teta1w) wt teta1z-teta2w) No tempo t-2. a equação (2) se torna Nós então substituímos a relação (4) para w t-2 na equação (3) (zt wt theta1 z-teta1w wt teta1z-teta21 (z-teta1w) wt teta1z-teta12z teta31w) Se continuarmos ( infinitamente), obteríamos o modelo AR de ordem infinita (zt wt theta1z - theta21z theta31z - theta41z dots) Note, no entanto, que se 1 1, os coeficientes multiplicando os lags de z aumentarão (infinitamente) em tamanho à medida que voltarmos Tempo. Para evitar isso, precisamos de 1 lt1. Esta é a condição para um modelo MA invertível (1). Na semana 3, veremos que um modelo AR (1) pode ser convertido em um modelo MA de ordem infinita: (xt - mu wt phi1w phi21w pontos phik1 w pontos soma phij1w) Este somatório dos termos de ruído branco passado é conhecido como a representação causal de um AR (1). Em outras palavras, x t é um tipo especial de MA com um número infinito de termos voltando no tempo. Isso é chamado de ordem infinita MA ou MA (). Uma ordem finita MA é uma ordem infinita AR e qualquer ordem finita AR é uma ordem infinita MA. Lembre-se na semana 1, notamos que um requisito para um AR estacionário (1) é aquele 1 lt1. Vamos calcular o Var (x t) usando a representação causal. Esta última etapa usa um fato básico sobre séries geométricas que requer (phi1lt1), caso contrário a série diverge. NavegaçãoTornar uma média móvel é um processo de suavização Uma maneira alternativa de resumir os dados passados é calcular a média de conjuntos menores sucessivos de números de dados passados, como segue. Lembre-se do conjunto de números 9, 8, 9, 12, 9, 12, 11, 7, 13, 9, 11, 10, que eram a quantia em dólar de 12 fornecedores selecionados aleatoriamente. Vamos definir (M), o tamanho do conjunto menor igual a 3. Então a média dos primeiros 3 números é: (9 8 9) / 3 8.667. Isso é chamado de suavização (ou seja, alguma forma de cálculo de média). Esse processo de suavização é continuado avançando um período e calculando a próxima média de três números, descartando o primeiro número. Exemplo de média móvel A tabela a seguir resume o processo, que é referido como Média móvel. A expressão geral para a média móvel é o número de cdots do Mt frac. Resultados da Média Móvel
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